探索复杂系统高阶交互的奥秘 | 高阶网络读书会启动

导语

随着对现实世界的探索不断深入，人们发现在许多真实的复杂系统中，组成系统的个体之间不仅存在二元交互关系，也广泛存在多个体同时（或以特定顺序）进行交互，即高阶交互现象。为此，研究人员分别发展出了基于超图、单纯复形、依赖关系等的网络高阶表示模型，为复杂网络分析和研究提供了新的思路。为了促进此领域的交流与合作，我们发起了【高阶网络读书会】。

集智俱乐部读书会是面向广大科研工作者的系列论文研读活动，其目的是共同深入学习探讨某个科学议题，激发科研灵感，促进科研合作。【高阶网络读书会】由电子科技大学吕琳媛老师、任晓龙老师及中国地质大学（北京）管青老师联合发起，第一期分享从 6月 28日（周二）20:00 开始，后续每周分享时间为每周四 19:00-21:00 进行，预计持续 10-12 周。这其间，我们将围绕高阶交互网络的基本概念、模型、方法与应用等研究进行研讨，本次读书会分享会按照「基础理论」+「深入理论」+「案例研讨」的模式展开。

读书会背景

不论在自然界还是在人类社会中，形式多样、规模各异的复杂系统比比皆是，比如气候、环境、生态等自然系统，社会、经济、政治、军事等社会系统，以及信息、网络、能源、交通等技术系统等。随着信息网络技术的创新发展，这些系统都突破了领域边界，空前紧密地耦合在一起，极大地改变了我们生存的世界。信息交互速度、强度和广度的强化，使得这些领域极具复杂性，正确认识系统的复杂性，进而对系统加以预测和优化，构成了复杂系统科学的机遇与挑战。

大型系统的复杂性源于其个体之间相互作用的多样性，即系统组成部分之间丰富的非线性相互作用模式。对于这些高度交互、耦合的系统，其行为已经难以利用还原论的思想和方法进行准确描述和预测。在过去几十年里，各种复杂系统被成功地描述为网络的结构并加以深入研究。网络由代表系统基本单元的节点的集合，以及描述这些节点之间二元交互关系的边的集合组成。复杂系统的网络表示与应用研究的兴起改变了人们理解复杂系统的范式，取得了丰硕的成果，促成了名为“网络科学”这一崭新的交叉学科的建立。

图片来源：https://networkdatascience.ceu.edu/content/networks-beyond-pairwise-interactions

长期以来，基于二元交互关系的复杂网络已经获得了深入而广泛的研究。然而，基于二元交互作用的网络模型是否足以提供对复杂系统的完整描述？随着对现实世界的探索不断深入，人们发现在许多真实的复杂系统中，组成系统的个体之间不仅存在二元交互关系，也广泛存在多个体同时（或以特定顺序）进行交互，即高阶交互现象。例如，在社交系统中，合作关系往往同时发生在多个体之间，如多名学者共同合作完成科研文章、多个公司共投新项目、多单位协同作战等；在神经系统中，许多神经元之间信号的传递是多个神经元共同调控产生的结果；在生物系统中，新陈代谢过程中的每一个化学反应都是由多种物质参与完成。这种高阶相互作用的动力学过程难以用基于二元交互关系的网络表示方法进行很好地描述。鉴于此，基于二元相互作用关系对复杂系统进行描述的网络表示方法需要进行合理推广，网络中相关的科学问题（比如关键节点与节点群识别问题）的定义需要在新的表示方法下进行扩展，并提出扩展后的科学问题的合理解决方案。

为促进高阶网络领域的学术工作者的交流与合作，激发有志于推进网络科学领域发展的学生的兴趣，电子科技大学吕琳媛老师、任晓龙老师及中国地质大学（北京）管青老师共同发起了【高阶网络】读书会，读书会的阅读清单希望通过梳理高阶交互网络的基本概念、模型、方法与应用，为大家呈现该领域的最新研究进展，共同交流研讨。

读书会框架介绍

高阶网络读书会主要结合单纯复形（simplex）表示模型展开讨论，分享按照

【基础理论】+【深入理论】+【案例研讨】的模式展开：

模块一：基础理论

本模块将参考伦敦大学玛丽王后学院教授 Ginestra Bianconi 于2021年出版的 Higher-Order Networks: An Introduction to Simplicial Complexes 书籍及相关综述进行分享，重点介绍复杂网络高阶建模，单纯复形的基本概念和计算方法，相关动力学研究等内容。

模块二：深入理论

本模块将根据二元交互网络中的相关科学问题和下游任务进行拓展，围绕网络中的关键节点识别、链路预测、社团结构、图表征和图嵌入、网络传播、网络博弈、网络同步等核心研究问题，给出高阶网络的定义和相应的解决方案。

模块三：案例研讨

本模块将围绕社会网络、神经系统、生物网络等不同场景下高阶交互作用带来的新的概念、模型及研究方法展开介绍。阅读清单中列举了高阶交互建模在科学学和脑网络应用的相关文献，同时欢迎其他领域的学者参与分享，为大家提供新的研究视角。在部分探讨中，我们也将尝试提供相关代码示例对研究进行复现。

发起人团队介绍

吕琳媛，电子科技大学，教授，国际网络科学学会理事会理事，国家优秀青年基金获得者，爱思唯尔中国高被引学者。主要从事网络信息挖掘和社会经济复杂性方面的研究。在Physics Reports、National Science Review、PNAS、Nature Communications等学术期刊发表论文80余篇，引用万余次，成果入选中国百篇最具影响国际学术论文。授权发明专利9项，两项专利获腾讯优秀专利奖。研究成果获计算机学会自然科学二等奖。2013年出版学术专著《链路预测》获第四届中国大学出版社图书奖优秀学术著作一等奖，获第五届中国系统工程学会系统科学与系统工程科学技术奖青年科技奖，2019年入选《麻省理工科技评论》中国35岁以下科技创新35人，2021年获第三届科学探索奖。

实验室网站：https://linyuanlab.com/

任晓龙，电子科技大学长三角研究院（湖州），苏黎世联邦理工学院博士，专注于复杂系统与网络中信息挖掘的研究，利用统计物理和复杂网络的理论和方法来解决信息领域中的若干重要问题，包括系统鲁棒性、网络拆解问题，重要节点（群）挖掘，链路预测等。

实验室网站：https://linyuanlab.com/   

个人主页：http://networkscience.cn/

管青，中国地质大学（北京）副教授，博士生导师。主要研究兴趣为网络数据挖掘，链路预测，高阶建模及其在各领域中的应用。已发表学术论文30篇，主持国家自然科学基金项目、北京市优秀人才培养资助青年骨干人才项目等。

个人主页：https://www.researchgate.net/profile/Qing-Guan-2

参与读书会，预期可获得

对高阶交互网络概念、模型、方法、应用的研究是目前网络科学领域的前沿方向，国内外已有许多重要研究成果发表。此次高阶网络主题读书会希望能促进此研究方向在国内的发展。

此次读书会，我们希望能和社区成员充分交流互动，如果你积极参与讨论与分享，可获得以下机会：

1. 发起人团队吕琳媛、任晓龙、管青等老师，可邀请优秀学员访问实验室，并培养表现出色的学生进行合作研究、合作发表学术论文；

2. 表现优秀者可推荐相关领域留学、访问交流机会；

3. 为大家提供成果展示平台，例如集智公众号平台文章宣传、网络科学相关学术会议等；

4. 组成长期稳定的学术共同体，共同发展高阶网络。

期待优秀的研究者涌现！

读书会第一期预告

发起人吕琳媛、任晓龙老师特别邀请了Higher-Order Networks: An Introduction to Simplicial Complexes书籍作者Ginestra Bianconi教授在北京时间 6 月 28 日 20:00 开启读书会第一期分享！

主讲人介绍

Ginestra Bianconi教授，英国伦敦玛丽女王大学数学科学学院复杂系统与网络团队负责人，期刊 Journal of Physics: Complexity（JPhys Complexity）主编，也是本季高阶网络读书会学习材料：Higher-Order Networks: An Introduction to Simplicial Complexes的书籍作者，近年的著作还包括Multilayer Networks等。Ginestra Bianconi 教授的研究兴趣包括网络的统计力学、生物网络以及凝聚态物质的复杂性和临界性，构建了可在复杂网络中显示玻色-爱因斯坦凝聚的 Bianconi-Barabasi 模型，曾从事网络熵、网络集成以及网络上的动态过程研究；发表论文 150 多篇。

报名参与读书会

本读书会适合参与的对象

• 基于复杂系统相关学科研究，对【网络科学】，特别是【高阶网络】相关研究有浓厚兴趣的一线科研工作者；

• 能基于读书会所列主题和文献进行深入探讨，可提供适合的文献和主题的朋友；

• 能熟练阅读英文文献，并对复杂科学充满激情，对世界的本质充满好奇的探索者；

• 想锻炼自己科研能力或者有出国留学计划的高年级本科生及研究生。

本读书会谢绝参与的对象

为确保专业性和讨论的聚焦，本读书会谢绝脱离读书会文本和复杂科学问题本身的空泛的哲学和思辨式讨论；不提倡过度引申在社会、人文、管理、政治、经济等应用层面的讨论。我们将对参与人员进行筛选，如果出现讨论内容不符合要求、经提醒无效者，会被移除群聊并对未参与部分退费。一切解释权归集智俱乐部所有。

运行模式

本季读书会涉及高阶交互网络基础概念与12个不同主题内容，按暂定框架贯次展开；每周进行线上会议，由 1-2 名读书会成员以PPT讲解的形式领读相关论文，与会者可以广泛参与讨论，会后可以获得视频回放持续学习。

举办时间

第一期分享从 6月 28日（周二）20:00 开始，后续每周分享时间为每周四 19:00-21:00 进行，预计持续 10-12 周。

参与方式

此次读书会为线上闭门读书会，采用的会议软件是腾讯会议（请提前下载安装）。在扫码完成报名并添加负责人微信后，负责人将其拉入群聊，入群后告知具体的会议号码。

参与费用

为了过滤一些非专业人士，甄选出真正对高阶交互网络研究感兴趣、有相关研究经验的专业人士，保证读书会研讨质量，也为了激励大家学习、分享、总结，本季读书会将采取收费 – 退款的保证金模式。

报名方式

第一步：扫码填写报名信息。

扫码报名

第二步：填写信息后，进入付款流程，提交保证金299元（符合退费条件后可退费）。

第三步：添加负责人微信，拉入对应的读书会讨论群。

（我们也会对每次分享的内容进行录制，剪辑后发布在集智学园官网上，供读书会成员回看。）

退费规则

1. 读书会保证金共计 299 元/人。

2. 满足如下条件之一者全额退款（本季读书会结束后统一退费）：

• 贡献了一次讲座（1小时左右）内容的（需要提前向主持人申请并通过试讲）；

• 完成了一篇以上读书笔记写作，并在集智俱乐部公众号分享。（读书笔记标准：字数3千以上，图文并茂，具体请参照此文：前沿综述：大脑结构网络、功能网络和网络控制中的物理学）；

• 认真完成集智百科相应的编撰任务，经过集智百科团队审核通过，并达到299积分。（详情见https://wiki.swarma.org/index.php?title=激励制度）。

• 认真完成集智斑图相应的路径整理任务，经过路径项目负责人审核，并达到299积分（具体联系运营负责人）。

1. 满足以下条件之一的不仅可以全额退款，还有额外奖励：

• 由读书会内容启发，产生了靠谱的新产品创意，并在读书会结束 2 个月内提交了详细的产品策划方案，并通过了集智俱乐部组织的相应考核答辩的；

• 由读书会内容启发，萌发了科研论文创意，在读书会结束 2 个月内完成初稿，并在最终的论文成果中致谢集智俱乐部的（需要发表在SCI等核心刊物上）。

上述规则的最终解释权归集智俱乐部所有。

限时活动：组队报名送复杂科学知识卡

为了促进大家的交流和认识，也为了让更多对高阶交互网络话题感兴趣的小伙伴加入到我们社区中，我们特别发起了组队报名活动 ，你可以邀请你课题组的导师、师兄师姐、师弟师妹一起加入~

【活动规则】

• 三人及以上一起组队报名，每人均获得『集智俱乐部复杂科学扑克牌』两副

• 五人及以上一起组队报名，每人均获得『集智俱乐部复杂科学扑克牌』四副

【参与方式】

几人组好队之后，直接报名读书会，由队长告知读书会负责人其他队员名字进行登记。读书会负责人会收集您的具体地址(只收集1个人的地址，建议大家同校组队）后邮寄礼物。

• 注：本活动中，每人仅限组一次队

【活动时间】

活动时间为：2022年6月6日-2022年9月25日

读书会阅读材料

主题1：高阶交互网络研究概览

简介：随着对现实世界的探索不断深入，人们发现在许多真实的复杂系统中，组成系统的个体之间不仅存在二元交互关系，也广泛存在多个体同时（或以特定顺序）进行交互，即高阶交互现象。为此，研究人员分别发展出了基于超图（Hypergraph）、单纯复形（Simplicial Complexes）、依赖关系等网络高阶表示模型，为复杂网络分析和研究提供了新的思路。如何使用高阶拓扑结构描述多个体之间的相互作用，进而分析网络的结构和功能，目前已有众多综述性工作对其中的核心概念、模型和方法进行了介绍。

主要参考文献：

1. Battiston, Federico. “Higher-Order Systems”. Springer Nature, 2022.

本书包括高阶系统的数学表示、动力学过程及高阶框架应用三大部分的内容。

1. Bianconi, Ginestra. “HIGHER ORDER NETWORKS: An Introduction to Simplicial Complexes”. Cambridge University Press, 2021.

本书介绍了单复形网络的众多主题，包括组合和统计性质、拓扑和几何特征，以及同步、渗流、传播等高阶动力学内容。

1. Battiston, Federico, et al. “Networks beyond pairwise interactions: structure and dynamics.” Physics Reports 874 (2020): 1-92.

该综述全面介绍了新兴的超越节点对相互作用的网络，讨论了如何表示高阶相互作用， 并介绍描述高阶系统的模型，介绍了高阶动力学及相关应用。

1. Battiston, Federico, et al. “The physics of higher-order interactions in complex systems.” Nature Physics 17.10 (2021): 1093-1098.

这篇perspective概述了高阶相互作用下的系统动力学行为，并提出了网络高阶研究的三个挑战。

1. Bick, Christian, et al. “What are higher-order networks?” arXiv preprint arXiv:2104.11329 (2021).

这篇文章阐述了什么是高阶网络、为什么高阶网络值得研究以及如何将它们应用于实际中。内容包括如何分析数据的结构，并强调高阶网络有助于理解数据的结构特征，讨论了高阶网络动力学与传统网络动力学的关系，及高阶交互模型。

1. Torres, Leo, et al. “The why, how, and when of representations for complex systems.” SIAM Review 63.3 (2021): 435-485.

介绍了复杂系统研究的基础概念，复杂系统的数学表示方法（图、单复形、超图等）及其之间的关系，并以科学家合作网络和邮件通信网络为例说明系统及其中的交互关系，以及不同表示方法对结果的影响。

1. Benson, Austin R., David F. Gleich, and Desmond J. Higham. “Higher-order network analysis takes off, fueled by classical ideas and new data.” arXiv preprint arXiv:2103.05031 (2021).

简单介绍了网络高阶研究的历史、重要性及挑战，给出了网络高阶结构的表示方法及使用这些方法推广PageRank的例子。

主题2：高阶交互网络建模

简介：与传统复杂网络研究类似，为了理解网络的高阶结构如何影响网络的功能，需要一系列高阶结构生成模型去重现真实数据集中观察到的真实高阶结构。同时，也需要随机化的高阶结构生成模型作为基准去识别真实网络中哪些高阶结构具有非平凡特性。当前已有一系列工作从高阶视角对网络进行建模，主要包括一系列随机化高阶网络零模型，以及高阶结构生成模型，保度序列、保高阶结构facet数量配置模型等。

主要参考文献：

1. Kovalenko, Kiriil, Irene Sendiña-Nadal, Nagi Khalil, Alex Dainiak, Daniil Musatov, Andrei M. Raigorodskii, Karin Alfaro-Bittner, Baruch Barzel, and Stefano Boccaletti. "Growing scale-free simplices." Communications Physics 4, no. 1 (2021): 1-9.

该文章提出了一种保证网络的度以及2-simplex满足无标度特性的生成模型，并对该模型进行了理论分析和仿真实验。

1. Bobrowski, Omer, and Dmitri Krioukov. "Random Simplicial Complexes: Models and Phenomena." arXiv preprint arXiv:2105.12914 (2021).

该综述对已发表的随机网络高阶模型，以及这些模型上观察到的现象进行了总结, 这些模型主要包括同质随机网络上的单纯复形，非同质随机网络上的单纯复形，超图上的单纯复形。

1. Ghoshal, Gourab, et al. "Random hypergraphs and their applications." Physical Review E 79.6 (2009): 066118.

作者提出了基于随机超图的三角结构生成模型，通过该模型生成超网络并与实证网络相比较，结果表明，在部分数据集上，生成网络与实证网络的统计特性保持一致，但是在别的数据集上表现完全不同，作者发现导致差异的原因在于这些实证网络中用户具有多重标签属性。

1. Costa, Armindo, and Michael Farber. "Random simplicial complexes." Configuration spaces. Springer, Cham, 2016. 129-153.

该论文提出了一种应用范围更广泛的随机单纯复形生成模型，该模型首先将节点固定，并给定不同概率随机去生成不同阶的单纯型，最终可以通过控制这组概率，实现对随机单纯型模型的控制，同时作者也对所设置的参数如何影响生成网络的拓扑以及统计特征进行了分析。

1. Courtney, Owen T., and Ginestra Bianconi. "Generalized network structures: The configuration model and the canonical ensemble of simplicial complexes." Physical Review E 93.6 (2016): 062311.

作者使用广义度对网络中的单纯复形进行量化，并设计了一种给定网络广义度序列生成单纯复形的配置模型，在理论上分析了单纯复形的正则系综，并给出模型中单纯复形数量的渐进表达式。同时作者也基于数值模拟实验研究了所提出的模型在没有结构截断的情况下，网络中广义度之间的相关性。

1. Yen, Tzu-Chi. "Construction of simplicial complexes with prescribed degree-size sequences." Physical Review E 104.4 (2021): L042303.

作者提出了一种给定网络度序列和单纯复形的facet数量的序列，来生成单纯复形的模型。作者发现增大节点的度会导致生成的网络中单纯复形上圈的数量减少。

1. Zuev, Konstantin, Or Eisenberg, and Dmitri Krioukov. "Exponential random simplicial complexes." Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 48.46 (2015): 465002.

该论文将最大熵集合与随机单纯复形相结合，证明了当前所提出的大部分随机单纯复形模型，在特定条件约束下， 都可以转换为最大熵集合，并给出了约束条件是随机单纯复形模型需要固定所生成的网络中的单纯形数量以及边界。

主题2 plus：基于依赖关系的高阶交互网络建模

简介：与基于单纯复形的高阶网络建模不同，基于依赖关系的高阶结构通常是指在实证数据中观察到的或通过数据挖掘得到的特定连边序列。实证研究表明，真实网络中的游走具有记忆性，节点的转移概率不仅取决于节点的当前位置，还会受到历史行为的影响，这种影响可以用高阶依赖关系来描述。识别和表示网络中基于依赖关系的高阶相互作用有助于充分理解复杂系统中的传播行为、探索高阶马尔可夫动力学等在网络中的应用。

主要参考文献：

1. Rosvall, Martin, et al. "Memory in network flows and its effects on spreading dynamics and community detection." Nature communications 5.1 (2014): 1-13.

在网络流分析中，一阶马尔可夫方法忽略了节点游走的一个重要特征：节点的下一步转移概率取决于它的上一步转移路径。本文通过构建二阶马尔可夫动力学捕获这种“节点记忆”，更好地揭示与预测实际的转移模式。

1. Xu, Jian, Thanuka L. Wickramarathne, and Nitesh V. Chawla. "Representing higher-order dependencies in networks." Science advances 2.5 (2016): e1600028.

本文通过分析大量实证数据，定义可变阈值提取网络中的高阶依赖关系，发现很多系统的网络中最多可以呈现5阶依赖的结构。本文分析了高阶依赖结构对社团划分、节点排序等的影响。

1. Scholtes, Ingo, Nicolas Wider, and Antonios Garas. "Higher-order aggregate networks in the analysis of temporal networks: path structures and centralities." The European Physical Journal B 89, no. 3 (2016): 1-15., 89(3), 1-15.

本文发现含时网络中连边出现的顺序会极大影响网络的因果拓扑结构，进而影响网络分析结果。作者引入了一个新的框架来研究“高阶聚合网络”中基于路径的中心性，更好地捕捉到了节点在时间上的中心性。

1. Scholtes, Ingo. "When is a network a network? Multi-order graphical model selection in pathways and temporal networks." In Proceedings of the 23rd ACM SIGKDD international conference on knowledge discovery and data mining, pp. 1037-1046. 2017.

本文引入了一个框架，用于建模网络中观察到的不同长度的序列数据捕获途径。该框架将多个高阶马尔可夫链组合成一个多层图模型，同时捕捉多个尺度上的路径的时间相关性。然后开发了一种模型选择技术来推断这种模型的最佳层数，并表明它优于以前使用的高阶马尔可夫检测技术。

1. Lambiotte, R., Rosvall, M. & Scholtes, I. From networks to optimal higher-order models of complex systems. Nature Physics 15, 313-320, doi:10.1038/s41567-019-0459-y (2019).

本前瞻性文章(Perspective) 说明了时间序列数据中非马尔可夫路径的影响，对比了几种流行的高阶网络模型，指出合理地使用高阶网络模型既能利用高阶依赖的丰富数据，又能避免过度拟合的风险。

主题3：高阶交互网络中的团与洞结构及其计算

简介：圈结构是一种重要的高阶结构，圈结构中有两种非平凡结构——团和洞。团结构是一种全连通结构，代数拓扑中被称为单纯形，是组成网络的一种基本单元结构；按照将网络“剖分”的思想，网络可以看作由各阶单纯形组成的单纯复形，并且可以在以各阶单纯形为基组成的向量空间中表示。洞结构是网络中无关等价类中的代表结构，洞是由该阶的团所组成的，其定义源于代数拓扑中的同调群。基于代数拓扑的复杂网络研究是研究复杂网络的一个全新的研究框架，并且在研究网络同步、传播、大脑的实证检验等方面取得了一定的成果。

相关经典书籍/论文推荐：

1. Shi, Dinghua, et al. "Searching for optimal network topology with best possible synchronizability." IEEE Circuits and Systems Magazine 13.1 (2013): 66-75.

本文提出了一个同步能力最优的网络模型：全齐性子网络。

1. Shi, D., Lü, L. & Chen, G. "Totally homogeneous networks." National Science Review. 6. 962–969 (2019).

本文作者借鉴庞加莱的”剖分”思想，从圈结构的视角出发，把网络分解为全齐性子网络，并提出向量空间作为表示网络的新方法，以此开创新的网络研究框架。

1. Shi, D., Chen, G., et al. " Computing cliques and cavities in networks. "Communications Physics. 4, 249 (2021).

本文提出了一个计算团和洞的计算方法，能够计算出网络中的全部团，和部分洞结构。

1. Reimann, Michael W., et al. "Cliques of neurons bound into cavities provide a missing link between structure and function." Frontiers in computational neuroscience(2017): 48.

本文提出了一个构建大脑皮层的模型，发现在大脑中存在着不同种类和巨大数量的高维团、洞结构。当虚拟大脑组织施加刺激时，神经元以一种高度有组织性的方式对刺激作出了反应，整个过程总是遵循从低维到高维，结构越来越复杂的顺序，到最后轰然崩解。

1. Sizemore, Ann E., et al. "Cliques and cavities in the human connectome." Journal of computational neuroscience 44.1 (2018): 115-145.

本文发现人类脑网络中存在大量的团和洞结构，且对于人的认知过程和复杂行为至关重要。洞所扮演的角色尤为重要，与大脑信息传播的模式密切相关。

1. Gebhart, Thomas, and Russell J. Funk. "The emergence of higher-order structure in scientific and technological knowledge networks." arXiv preprint arXiv:2009.13620 (2020).

本文发现在科技论文合作网络中高阶结构随时间迅速增多，同时伴随低阶结构减少。高阶结构的涌现与新颖性强和高影响力的论文和专利有关，并且对应着更为复杂的概念，更为抽象的词汇。

主题4：高阶交互网络中的关键节点（群）识别

简介：节点中心性量化评估了不同节点对网络的结构和功能的影响程度。在普通网络上衡量节点重要性的指标已经得到了较多研究，例如度中心性（Degree Centrality）测量了节点与其他节点的连接程度，介数中心性（Betweenness）测量了经过某节点的最短路径的密集程度等。高阶交互作用背景下的节点中心性的不同之处在于，中心性方法的计算对象是高阶结构或具有高阶特性，主要包括两类：一是由多个相关联的简单对交互关系（pairwise interaction）构成的、节点数不小于3的网络子结构，如模体（motifs）；二是表征涉及不小于3个节点的、非对交互关系（non-pairwise interaction）的网络子结构，如超图，以及由这两类混合而成的高阶对象。例如，在超网络中，节点的超度（hyperdegree）中心性刻画了节点之间的关联程度，它等于与目标节点关联的所有超边总数，无论这些超边的阶数是多少。除了重要节点，对重要节点群的识别也是一个重要问题。节点群的重要性与其自身的阶数或在网络中所处的位置相关，一般而言阶数越高、所处位置越接近网络的拓扑中心则越重要。

主要参考文献：

1. Battiston, Federico, et al. "Networks beyond pairwise interactions: structure and dynamics." Physics Reports 874 (2020): 1-92.

在本文第3.2节中，作者综述了三种不同类型的高阶节点中心性指标：基于高阶关联程度的中心性、基于高阶路径的中心性和基于高阶特征向量的中心性。

1. Fan, Tianlong, et al. "Characterizing cycle structure in complex networks." Communications Physics 4.1 (2021): 1-9.

本文提出利用网络中的圈信息来识别关键节点，定义了新的圈表示矩阵及重要节点量化指标，并在实证网络上验证了新指标所识别的重要节点（或节点群）在渗流、同步和传播动力学中的重要性。

1. Tudisco, Francesco, and Desmond J. Higham. "Node and edge nonlinear eigenvector centrality for hypergraphs." Communications Physics 4.1 (2021): 1-10.

为了识别超图中的重要节点和超边，本文借鉴HITS算法的思想，提出了一类新的基于特征向量的中心性指标。

1. Kovalenko, Kirill, et al. "Vector Centrality in Networks with Higher-Order Interactions." arXiv preprint arXiv:2108.13846 (2021).

本文提出用向量表示超图中节点的重要性，并据此揭示同一个节点在不同阶数的交互关系中所扮演的不同角色。

1. Aktas, Mehmet Emin, et al. "Identifying critical higher-order interactions in complex networks." Scientific reports 11.1 (2021): 1-11.

基于扩散模型，本文提出了两种新的超图拉普拉斯算子用以识别超图中重要的高阶相互作用（超边），并通过与一般中心性指标的对比分析确认了新方法的性能优势。

1. Wang, Pei, Jinhu Lü, and Xinghuo Yu. "Identification of important nodes in directed biological networks: A network motif approach." PloS one 9.8 (2014): e106132.

本文基于网络模体和主成分分析方法提出了一种新的有向网络中重要节点识别指标，并在多个实证网络上验证了新指标的准确性和预测性。

主题5：高阶交互网络中的链路预测

简介：高阶交互网络中的链路预测是经典方法的延伸。因为复杂系统中的许多结构涉及两个以上节点之间的相互作用，如合作关系、多种蛋白质间的功能交互等，高阶链路预测提供了一种用来分析和评估高阶交互结构的方法框架。大多数高阶链路预测方法是基于现有的高阶结构模型而提出的，如单纯复形、集合系统（set systems）、超图和二分关联图（bipartite affiliation graphs）等，这些方法也被用于预测特定高阶结构的出现或者高阶交互。也有一些方法是利用节点间的高阶相似性达到提升经典链路预测精度的目的。

主要参考文献：

1. Benson, Austin R., Rediet Abebe, Michael T. Schaub, Ali Jadbabaie, and Jon Kleinberg. "Simplicial closure and higher-order link prediction." Proceedings of the National Academy of Sciences 115, no. 48 (2018): E11221-E11230.

本文研究了来自生物学，医学，社交网络和网络的数据集，并描述了高阶结构是如何出现的以及在不同领域之间的差异。然后提出了一个评估基于链接预测的高阶数据模型的一般框架，该框架被用来从一个系统的结构和过去的历史中预测未来的相互作用。

1. Coutino, Mario, Georgios V. Karanikolas, Geert Leus, and Georgios B. Giannakis. "Self-driven graph volterra models for higher-order link prediction." In ICASSP 2020-2020 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), pp. 3887-3891. IEEE, 2020.

本文交叉利用Volterra序列和线性结构方程模型的思想，介绍了自驱动图Volterra模型，该模型可以捕捉网络数据中的节点观测变量之间的高阶相互作用。利用社交网络中的真实交互数据，对该新型模型进行了高阶链接预测任务的验证。

1. Chavan, Neeraj, and Katerina Potika. "Higher-order link prediction using triangle embeddings." In 2020 IEEE International Conference on Big Data (Big Data), pp. 4535-4544. IEEE, 2020.

本文通过在图神经网络中嵌入三角形来预测高阶链接。实验结果表明三角形嵌入方法在大多数数据集中有较好的效果。

主题6：高阶交互网络中的社团结构

简介：社团结构（community structure）是复杂网络中最普遍也是最重要的拓扑特性之一，表现为社团内部结构紧密，社团之间连接稀松。社团发现（community detection）对探索复杂系统的运行机制及其功能特性具有重要意义。由于实际网络不仅存在点和边的低阶关系，还包含了大量的高阶结构，因此如何通过高阶结构更好地刻画网络的社团属性、如何嵌入网络高阶结构信息来增加社团识别的精度及质量是当前社团发现研究中值得深入研究的重要问题。借助网络高阶信息识别更多有意义的子结构并探究高阶结构对社团划分所带来的影响正在成为研究热点。

主要参考文献：

1. Yin, Hao, Austin R. Benson, and Jure Leskovec. "Higher-order clustering in networks." Physical Review E 97, no. 5 (2018): 052306.

作者引入了高阶聚类系数来衡量高阶网络团的闭合概率，并提供了一个更全面的观点描述复杂网络边的聚集。在传统聚类系数上进行了高阶聚类系数的自然推广，推导了高阶聚类系数的性质，并对常见的随机图模型进行了分析。

1. Yin, Hao, Austin R. Benson, Jure Leskovec, and David F. Gleich. "Local higher-order graph clustering." In Proceedings of the 23rd ACM SIGKDD international conference on knowledge discovery and data mining, pp. 555-564. 2017.

当前的局部图划分方法并未涉及高阶结构，也不能有效地处理有向网络。本文介绍了一类基于网络模体（motif）捕获高阶网络信息的局部图聚类方法：近似个性化 PageRank (MAPPR) 算法，该算法能找到包含具有最小模体电导（motif conductance）的种子节点集。

1. Benson, Austin R., David F. Gleich, and Jure Leskovec. "Tensor spectral clustering for partitioning higher-order network structures." In Proceedings of the 2015 SIAM International Conference on Data Mining, pp. 118-126. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2015.

本文提出一种张量谱聚类 (TSC) 算法，该算法允许用户指定网络聚类保留哪些高阶网络结构（如循环、前馈循环等），使用张量表示高阶网络结构，通过开发多线性谱方法划分社团。该框架可用于网络的分层流发现以及图异常检测。在有向网络中，该方法可以有效发现长度为3的反馈环这一重要高阶结构。

1. Chodrow, Philip S., Nate Veldt, and Austin R. Benson. "Generative hypergraph clustering: From blockmodels to modularity." Science Advances 7.28 (2021): eabh1303.

本文提出了一种可生成具有社团结构的超图（clustered hypergraph）的概率生成模型，受此启发作者推广了Louvain方法并提出一种超图聚类算法。该方法能检测出传统方法识别不到的社团结构。

主题7：高阶网络结构的图表征、图嵌入

简介：高阶结构的嵌入和表征学习致力于将图数据中的（高阶）拓扑结构以及节点和连边的特征信息嵌入到欧氏空间，有利于用传统的机器学习算法处理（高阶）图上的节点分类、链路预测等下游任务。根据嵌入时是否依赖下游任务，可以粗略地将模型分为图表征和图嵌入两类。现有文献主要关心超图结构下的学习，少数涉及单纯复形的表征学习以及基于依赖关系的高阶结构嵌入。

主要参考文献：

1. 综述性论文：

Gao, Yue et al. “Hypergraph Learning: Methods and Practices.” IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 44 (2022): 2548-2566.

清华大学高跃老师团队的最新综述，评述了在引入深度学习技术前超图下的机器学习技术，包括如何构建超图和如何利用超图的拉普拉斯矩阵进行超图上的标签学习、动态超图结构学习等。

1. 图表征：

a. Feng, Yifan, et al. "Hypergraph neural networks." AAAI (2019).

第一篇将神经网络引入超图的工作，来自清华高跃老师课题组。论文利用超图的拉普拉斯矩阵，将简单图上的GCNN结构引入超图，实现数据表示学习。

b. Huang, Jing and Jie Yang. “UniGNN: a Unified Framework for Graph and Hypergraph Neural Networks.” IJCAI (2021).

上海交通大学Yang Jie老师的工作，阶段性地总结了超图神经网络的各种架构，基于消息传递，提出了一个两阶段模型，将简单图结构上的GNN和若干种超图上的GNN都统一为同一框架，同时证明了该模型具有和广义WL-test相同的表达能力。

c. Chien, Eli et al. “You are AllSet: A Multiset Function Framework for Hypergraph Neural Networks.” ICLR (2022).

该工作构建了一个两阶段模型，其创新点在于用 multiset function 来拟合两个阶段的信息聚合过程，从而自然地引入了 DeepSet 和 Transformer 技术，实现了目前最好的节点分类效果。

d. Ebli, Stefania et al. “Simplicial Neural Networks.” ArXiv abs/2010.03633 (2020): n. pag.     这篇文章利用单纯复形网络的拉普拉斯矩阵，将简单图的 GNN 架构首次引入单纯复形网络。

1. 图嵌入：

a. Saebi, Mandana et al. “HONEM: Learning Embedding for Higher Order Networks.” Big data 8 4 (2020): 255-269 .

本文利用基于“依赖”的高阶结构，定义了高阶网络上的随机游走，从而得到高阶网络的相似性矩阵。最后，用 SVD 分解该相似性矩阵得到高阶网络各个节点的网络嵌入表示。

b. Huang, Jie et al. “Hyper2vec: Biased Random Walk for Hyper-network Embedding.” DASFAA (2019).

本文将简单图上的随机游走扩展到高阶图，通过定义点到超边、超边到点的随机游走策略得到节点序列，并结合 DeepWalk 嵌入算法，得到了超图网络的节点嵌入。

c. Zhang, Ruochi et al. “Hyper-SAGNN: a self-attention based graph neural network for hypergraphs.” ICLR (2020): n. Pag.

该工作的任务是做超边的链路预测，相比于传统的链路预测方法，该模型能够预测任意大小的超边是否存在。对于一个节点集合，为了判断两个节点是否属于同一超边，该工作提出两种方法来嵌入集合中的节点：1）node-wise FFN用于得到节点的“静态”嵌入；2）self-attention用于得到节点的“动态”嵌入。作者认为，若节点集合属于同一超边，则两种嵌入应该相似，否则不相似，以此来预测超边。

主题8：高阶交互网络中的传播

简介：在复杂网络研究中，基于二元交互（pairwise interaction）模拟传播过程有着广泛而深入的研究。但是在许多场景下，真实系统中的传播可能需要通过多元交互才能实现，而高阶传播表示的正是需要多元交互，且发生在高阶结构上的传播过程。关于高阶传播的研究，能够从新的角度去解释传播现象，发现在二元交互视角下缺失的动力学性质。

主要参考文献：

1. Iacopini, Iacopo, Giovanni Petri, Alain Barrat, and Vito Latora. 2019NC "Simplicial models of social contagion."

该文章定义了一种发生在三角形（2-simplex）上的高阶传播行为，并在SIS传播模型下使用实证数据进行了研究，结果表明高阶传播的引入，会导致非连续相变的产生。

1. Joan T. Matamalas , Sergio Gómez , and Alex Arenas. 2020PRR "Abrupt phase transition of epidemic spreading in simplicial complexes."

论文分析了基于2-simplex的SIS模型传播动力学问题，通过求解与分析模型的不动点，发现考虑高阶传播时，疾病的传播规模随感染概率的改变而产生突变。

1. Barrat, Alain, Guilherme Ferraz de Arruda, Iacopo Iacopini, and Yamir Moreno. "Social contagion on higher-order structures." arXiv preprint arXiv:2103.03709 (2021).

论文研究了超图上的传播过程，并推广到几种平均场和异质平均场方法，从高阶传播中观察到了连续和非连续的相变，并出现了临界质量效应。最后在真实的社会网络中进行了模拟。

1. Chowdhary, S., Kumar, A., Cencetti, G., Iacopini, I. and Battiston, F., 2021. "Simplicial contagion in temporal higher-order networks. Journal of Physics: Complexity.", 2(3), p.035019.

论文提出了一种时序网络的单纯形传播模型，通过微观马尔科夫链方法，发现网络的时间性质将限制高阶传播的影响，指出了传播动力学中的时间特性对高阶网络的重要影响。

1. Li, Z., Deng, Z., Han, Z., Alfaro-Bittner, K., Barzel, B. and Boccaletti, S., 2021. "Contagion in simplicial complexes". Chaos, Solitons & Fractals, 152, p.111307.

文章实现了单纯复形上的SIS传播模型，发现高阶相互作用从根本上改变了传播模式。尽管两两相互作用在早期传播中发挥了关键作用，当有足够的高阶结构被激活后，高阶结构的作用将在传播动力学中占主导地位，且动力学过程显示出非连续的相变。

1. Jhun, Bukyoung. "Effective epidemic containment strategy in hypergraphs." Physical Review Research 3.3 (2021): 033282.

论文提出了一种超图中的免疫策略，对那些在超图中具有高瞬时感染概率的超边进行免疫，作者发现在均匀的超图中，使用免疫策略选择出来的那些特征值很大的超边都包含在传播过程中。作者也发现高瞬时感染概率可以作为中心性指标衡量超边在高阶交互传播过程中的重要性。

1. St-Onge, Guillaume, et al. "Universal nonlinear infection kernel from heterogeneous exposure on higher-order networks." Physical Review Letters 127.15 (2021): 158301.

作者将传播过程中环境的异质性以及个体的异质性整合到超图模型中，发现若同时引入异质感染概率和最小感染数量将会导致感染的个体数量以及感染风险之间出现普遍的非线性关系。在考虑非线性的感染概率的情况下，传统的动力学过程将会出现非连续相变，超指数传播以及迟滞现象。

1. Landry, Nicholas W., and Juan G. Restrepo. "The effect of heterogeneity on hypergraph contagion models." Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 30.10 (2020): 103117.

论文提出了基于超度的平均场方法来描述超图中上SIS模型动力学过程，作者发现当网络中连边或者三角形是独立选择的或者正相关情况下，爆炸相变会因超度的异质性而被压缩，同时也发现超图上的高阶结构对于动力学过程有着非常重要的影响。

1. Wang, Dong, et al. "Simplicial SIRS epidemic models with nonlinear incidence rates."

Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 31.5 (2021): 053112.

该论文提出了一种同时考虑网络高阶结构以及非线性感染概率的SIRS模型，所提出的模型不仅具有非连续相变、双稳态等动力学性质，同时也能观察到传播周期性爆发的现象，作者也分析了所提出的模型在平衡点的稳定性，并得到了双稳态存在的条件。

1. de Arruda, Guilherme Ferraz, Giovanni Petri, and Yamir Moreno. "Social contagion models on hypergraphs." Physical Review Research 2.2 (2020): 023032.

该论文提出了一种用于研究超图上的高阶传播理论分析框架，通过在多种超网络上的数值分析发现，所提出的模型的参数空间范围很大，适用范围广，具有一阶、二阶相变、双稳态、以及迟滞等动力学性质。

主题9：高阶交互网络中的博弈

简介：生物体之间的互动，从微生物到人类社会，本质上比粒子和非微生物物质之间的简单直接互动更为复杂多样，其中一个典型例子便是网络科学中最新的研究热点——高阶交互网络。在此，我们将介绍在高阶网络上的演化博弈研究的最新进展。在高阶网络上的博弈得益于多学科的协同作用，比如统计物理学，网络科学和进化博弈论。它更关注个体们在群体中的互相作用，研究一些重要的平衡和非平衡动态过程。

主要参考文献：

1. Alvarez-Rodriguez, Unai, Federico Battiston, Guilherme Ferraz de Arruda, Yamir Moreno, Matjaž Perc, and Vito Latora. "Evolutionary dynamics of higher-order interactions in social networks." Nature Human Behaviour 5, no. 5 (2021): 586-595.

本文研究了具有高阶互动的社会系统中公共物品博弈的进化动态。该工作表明均匀超图上的博弈与良好混合群体中的复制者动态相呼应，为研究网络群体中的合作提供了理论基础，本文揭示枢纽的存在和不同规模群体中互动的共存是如何影响合作的演变的。

1. Guo, H., D. Jia, I. Sendiña-Nadal, M. Zhang, Z. Wang, X. Li, K. Alfaro-Bittner, Y. Moreno, and S. Boccaletti. "Evolutionary games on simplicial complexes." Chaos, Solitons & Fractals 150 (2021): 111103.

该工作研究了通过邻居间接相互作用的博弈，主要考虑双体和三体相互作用的简化图，提出了一种新的博弈框架。其优点有：支持高阶博弈，允许非主导策略出现并与主导策略共存；能描述从主导背叛到主导合作的新过渡；证明2-simplex互动是策略多样性的来源。

1. Civilini, Andrea, Nejat Anbarci, and Vito Latora. "Evolutionary Game Model of Group Choice Dilemmas on Hypergraphs." Physical review letters 127.26 (2021): 268301.

本文将进化博弈引入超图，揭示了个别决策者的偏好和群体一致选择之间的差异。并且，当动态发生在异质超图上时，会出现纳什均衡向风险策略的偏离。

1. Kumar, Aanjaneya, et al. "Evolution of honesty in higher-order social networks." Physical Review E 104.5 (2021): 054308.

发送者-接收者博弈是信息传输的简单模型，以此研究发送者和接收者之间诚实和欺骗的演变。本文引入了接收者之间的群体互动，并研究他们在高阶社会网络中的相互联系如何影响谎言的演变。

主题10：高阶交互网络中的同步

简介：同步现象广泛存在于物理、生物和社会系统中，如摆钟的同步运动、观众的同频率鼓掌和萤火虫的集体闪烁等。一定条件下，复杂网络中的节点运动状态会达到同步。已有的研究多是基于节点对交互的，而实际网络中不仅有成对交互，还有多个实体的交互，即高阶交互。高阶交互不能简单地看作成对交互的组合。该方向上有众多关键问题待深入讨论，比如：如何判定高阶网络同步？如何衡量高阶网络的同步能力？传统网络中判别同步的方法是否依旧适用于高阶网络？高阶交互的存在对网络的同步是促进，还是抑制？高阶网络中的同步与传统网络有哪些异同？

主要参考文献：

1. Tanaka, Takuma, and Toshio Aoyagi. "Multistable attractors in a network of phase oscillators with three-body interactions." Physical Review Letters 106.22 (2011): 224101.

这篇文献研究了三个实体交互对动力系统的影响.研究结果发现，在临界耦合强度上存在无穷多个多稳同步态会出现,而任意耦合强度下均存在一个稳定的不相干态。

1. Skardal, Per Sebastian, and Alex Arenas. "Abrupt desynchronization and extensive multistability in globally coupled oscillator simplexes."  Physical review letters 122.24 (2019): 248301.

这篇文献发现高阶耦合振子的集群动力学会引发一种新的现象,同时出现多稳定性,即存在无穷多个稳定的部分同步态。

1. Lucas, Maxime, Giulia Cencetti, and Federico Battiston. "Multiorder Laplacian for synchronization in higher-order networks." Physical Review Research 2.3 (2020): 033410.

这篇文献给出了高阶相位振子的一般框架及各阶Laplacian矩阵,通过Laypunov指数分析了吸引交互和排斥交互对同步能力的影响。

1. Millán, Ana P., Joaquín J. Torres, and Ginestra Bianconi. "Explosive higher-order Kuramoto dynamics on simplicial complexes." Physical Review Letters 124.21 (2020): 218301.

关于Kuramoto模型的研究多集中在节点上,本篇文献提出了一个与高维单形（边，三角形等）耦合振子相关的 Kuramoto模型.主要考虑两种高阶 Kuramoto动力学，即简单 Kuramoto动力学和爆炸 Kuramoto动力学.基于Hodge分解,可将动力学投影到单形的上下两个面.简单高阶 Kuramoto 在其相邻面的投影呈连续相变,而爆炸 Kuramoto呈爆炸同步跃迁.这表明定义在n维单形上的高阶同步动力学,在其投影动力学上可同时诱导不连续的跃迁。

1. Gambuzza, Lucia Valentina, et al. "Stability of synchronization in simplicial complexes."

Nature communications 12.1 (2021): 1-13.

这篇文献基于耦合动力系统的一般框架,证明了完全同步是存在的,并给出了同步稳定的必要条件及主稳定函数的高阶形式。

1. Skardal, Per Sebastian, et al. "Higher-order interactions can better optimize network synchronization." Physical Review Research 3.4 (2021): 043193.

这篇文献提出一种编码高阶交互的组合Laplacian矩阵。总的耦合强度是常量时,增强高阶耦合，网络同步能力相应地提高。这一现象源于组合Laplacian矩阵特征值谱变宽。

1. Tang, Ying, Dinghua Shi, and Linyuan Lü. "Optimizing higher-order network topology for synchronization of coupled phase oscillators." Communications Physics 5.1 (2022): 1-12.

调整网络的拓扑结构可以优化同步.成对交互的传统网络中,同质无向网络更容易同步,结构上不对称的有向网络也更易同步。这篇文献主要研究高阶交互的同步优化控制.对于无向交互来说,容易同步的网络其节点度分布趋于一致；而有向交互中,优化的可同步高阶网络结构也可以是对称的。

1. Chen, Guanrong. "Searching for Best Network Topologies with Optimal Synchronizability: A Brief Review." IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica 9.4 (2022): 573-577.

这篇文献综述网络同步的准则和拓扑优化方面的研究进展,并探讨高阶拓扑在大规模复杂网络最优同步方面的作用。

1. Zhang, Yuanzhao, Maxime Lucas, and Federico Battiston. "Do higher-order interactions promote synchronization?." arXiv preprint arXiv:2203.03060 (2022).

这篇文献主要从度异质性角度解释为什么高阶交互在超图网络中促进同步,而在单复形网络中抑制同步。

主题11：应用：科学学中的高阶交互结构

简介：科学学以科学领域的相关主体为基本研究对象（科研人员及其团体、科研成果及其载体），旨在量化科学研究的客观规律，探求科学研究的内在机制，预测科学研究的影响与发展，以期找到科学研究的一般范式，进而促进科学发展。传统复杂网络的方法通过关注科学家或科学知识的二元交互发现了科学创新的部分机制，但由于科学家或科学知识的关系更像是一场高维的象棋游戏，需要从不同的视角观察发展规律并理解内在机制。因此，一些学者开始关注科学家及科学知识之间的高阶关系，并试图从高阶结构的视角发现科学研究的客观规律，从而预测科学研究的发展及创新的发生。

主要参考文献：

1. Patania, Alice, Giovanni Petri, and Francesco Vaccarino. "The shape of collaborations." EPJ Data Science 6 (2017): 1-16.

这篇文章以arXiv数据为实证数据，研究了不同科学团体合作的拓扑结构。从高阶（simplex）的角度研究了arXiv类别的属性。研究表明：不同的机制在构建科学合作的高阶连通性特征中发挥作用。

1. Gebhart, Thomas, and Russell J. Funk. “The emergence of higher-order structure in scientific and technological knowledge networks.” arXiv preprint arXiv:2009.13620 (2020).

这篇文章通过识别科学技术知识的高阶结构，观察到知识高阶结构的快速增长，是传统网络方法无法观察到的。对科学知识高阶结构的研究发现，科学技术知识的增长越来越多地发生在更高的维度上，这种更丰富的拓扑结构可能使科学和技术迄今未知的全新发现和发明得以发展。

1. Benson, Austin R., Rediet Abebe, Michael T. Schaub, Ali Jadbabaie, and Jon Kleinberg. "Simplicial closure and higher-order link prediction." Proceedings of the National Academy of Sciences 115, no. 48 (2018): E11221-E11230.

这篇文章研究了来自生物学、医学、社交网络等19个数据集，描述了高阶结构如何出现和不同领域的差异，并提出了一个链路预测模型的一般框架用于预测具有高阶结构的网络。

主题12：应用：脑网络中的高阶交互结构

简介：人脑是最复杂、最令人着迷的系统，我们研究人脑的目标是了解人类行为的神经基础，从而为深刻理解人类智慧、提高人脑效率、准确诊断和治疗各种神经系统疾病和精神疾病提供理论依据。随着生物医疗手段的进步和复杂系统研究的蓬勃发展，利用图论和网络科学，构建复杂脑网络拓扑结构，通过高阶网络分析方法，将大脑错综复杂的内部运作映射为固有的网络化现象，为大脑研究提供了更进阶的方向。

主要参考文献：

1. Giusti, Chad, Robert Ghrist, and Danielle S. Bassett. "Two’s company, three (or more) is a simplex." Journal of computational neuroscience 41.1 (2016): 1-14.

本文利用单纯复形，克服了在脑网络中节点对和连边构建神经结构和功能拓扑结构的限制，在建模和测量神经现象方面提供了广泛的新可能性。文中回顾了基本的单纯复形的数学形式，以及将单纯复形应用于神经数据的新兴文献，如从动物模型的电生理记录到人类的血流动力学波动。

1. Sizemore, Ann E., Chad Giusti, Ari Kahn, Jean M. Vettel, Richard F. Betzel, and Danielle S. Bassett. "Cliques and cavities in the human connectome." Journal of computational neuroscience 44, no. 1 (2018): 115-145.

将大脑区域及其连接编码为节点和边缘网络，可以捕捉到许多可能的路径，在人类处理和执行复杂行为时，这些路径可以传递信息。本文利用捕捉高阶关系，研究了可以进行局部计算的密集连接的节点组，以及可以进行并行处理的较大的互动模式。发现在通过接线最小化构建的空网络中存在比预期更多的大团，提供了大脑网络可以进行快速、局部处理的架构。

1. Lynn, Christopher W., and Danielle S. Bassett. "The physics of brain network structure, function and control." Nature Reviews Physics 1, no. 5 (2019): 318-332.

大脑的特点是结构连接的异质性模式，支持无与伦比的认知能力和广泛的行为。本文描述了在空间嵌入和能量最小化的约束下，在结构布线中实例化的大脑网络架构的组织原则；调查了规定神经活动如何沿结构连接传播的脑网络功能模型；讨论了脑网络控制的微扰实验和模型；这些实验利用信号沿结构连接传播的物理学原理来推断支持目标导向行为的内在控制过程，并为基于刺激的神经和精神疾病的治疗提供信息。

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